El arte de hacer matemáticas I

 

Así al comparar erradamente la ciencia, que no consisten más que en un conocimiento intelectual, con las artes, que requieren ciertas prácticas y disposiciones del cuerpo, y viendo que una misma persona no debe aprender todas a la vez sino que es más fácilmente, mejor artista quien se dedica exclusivamente a una, porque las mismas manos no pueden adaptarse a labrar los campos o a tañer la cítara o a oficios diferentes, con tanta seguridad como uno solo de ellos, creyeron que también lo mismo sucede con las ciencias, y distinguiéndolas por la diversidad de objetos, pensaron que cada una debía cultivarse aparte, con prescindencia de todas las demás. No cabe duda de que en estos se engañaron. Pues como todas las ciencias no son más que la sabiduría humana, que es siempre una y la misma por más que se apliquen a diferentes objetos, como la luz del sol es una, por múltiples y diferentes que sean las cosas que iluminan, no se debe imponer ninguna limitación a los espíritus, pues si el ejercicio de un arte impide que aprendamos otros, el conocimiento de una verdad lejos de ser un obstáculo nos ayuda a descubrir otras.

Descartes [1].

 

En las Reglas para la dirección del espíritu Descartes ilustra su idea de conocimiento con la imagen de un único sol que ilumina con idéntica certeza todo objeto que se le aparezca. De este modo, distingue al científico del artista, pues el primero aumenta su saber sin ningún tipo de limitación por parte del objeto. Toda verdad no puede sino favorecer la incorporación de otra verdad. El artista, por el contrario, necesita prácticas y disposiciones específicas para el uso de sus instrumentos, y estas prácticas y disposiciones, según Descartes, entorpecen el uso óptimo de otra clase de instrumentos. El pianista experto que adquirió habilidades motrices en sus dedos para aprovechar al máximo su instrumento, podríamos pensar que atrofió sus manos para el uso sofisticado de martillo y cincel, lo que le impide llegar a ser un experto en escultura. Y es por estas prácticas y disposiciones del cuerpo que los artistas tendrían su saber restringido a un campo particular; mientras el científico, al hacer sólo uso de la luz de la razón, puede adquirir conocimiento de todas las cosas.

En lo siguiente intentaré, a diferencia de lo dicho por Descartes, sostener la analogía ciencia (y en particular, matemáticas) y arte. Para eso desarrollaré un análisis en que se contraponga el paradigma tradicional axiomático de las matemáticas y mi propuesta enmarcada en algunas corrientes actuales que entienden al hacer matemático como análisis y resolución de problemas, haciendo renacer viejos postulados leibnizianos [2]. En este sentido, argumentaré cómo el matemático necesita, usando las palabras de Descartes, de “ciertas prácticas y disposiciones del cuerpo” en términos de ocupación y competencia en distintas formas de representación, entendidas como condiciones necesaria para la comprensión de tales representaciones. En su ocupación con las representaciones, el matemático adquiere competencias que le permiten un mejor trato con ellas, siendo todo este proceso atravesado por un paulatino aumento de comprensión de esas representaciones y de los conceptos que representan. En segundo lugar, argumentaré cómo esta comprensión posibilita la creatividad del matemático, y en qué sentido (entre otros) puede ser pertinente ésta en su actividad.

 

De las prácticas y disposiciones (como ocupación y competencia).

En la interpretación cartesiana de la analogía que busco aquí defender, las artes parecen implicar “ciertas prácticas y disposiciones” por parte de quien las practica, lo cual al parecer contraviene su ideal de ciencia, el cual se entiende siempre como “una y la misma por más que se apliquen a diferentes objetos”. Si acaso la ciencia no responda a tal ideal, se estaría, según Descartes, limitando al espíritu, siendo que éste (a diferencia de las artes) al obtener una verdad, más que impedir, facilita el acceso a otras verdades. En el epígrafe notamos también que ciencia se identifica con la sabiduría del espíritu humano y no un conjunto de teoremas qu se exponga a modo de proposiciones articuladas deductivamente a partir de pocos axiomas. El problema del sistema euclídeo, que representaría más bien esta segunda idea de ciencia, es que no nos da herramientas para descubrir cosas nuevas.

Ahora pondré una analogía para comprender el problema de tal modo de exposición, que tanto Leibniz como Descartes criticaron. No sería muy aventurado conjeturar que un software, al que se le programa los axiomas y las reglas de inferencia, podría realizar todas las deducciones necesarias para construir toda la geometría euclidiana. Nadie negaría la utilidad relativa del software (creo que representa lo que es el ideal axiomático de ciencia al reescribir las geometrías en lenguaje puramente lógico, explicitando así la estructura lógica de la realidad matemática). No obstante, nadie diría que este software comprende lo que está haciendo. Pero ¿para qué querríamos que lo comprenda?

Para responder a esto supondré por empezar que es correcta la distinción entre los objetos matemáticos (cuya existencia y naturaleza son problemáticas) y sus representaciones. También supondré que hay algo así como un entramado lógico conformado por los objetos matemáticos, y que nuestro único acceso a ese entramado es por medio de representaciones.

Ahora, según defensores del paradigma axiomático de ciencia, se debe reescribir las matemáticas en lenguaje puramente lógico, con el fin de exponer la estructura lógica de la realidad matemática, ya que pareciera haber una relación de isomorfismo entre las representaciones y los objetos. Uno estaría tentado a pensar que semejante presentación de las pruebas expresarían una radical pureza conceptual. No obstante, para plantear el problema de esta empresa logicista debo hacer un rodeo explicitando ciertas nociones que clarifiquen el panorama.

Toda prueba matemática tiene, al menos, una doble finalidad: debe por un lado validar la respuesta a un problema, y en segundo lugar, convencer a la comunidad de matemáticos que legitime esa respuesta; pues, para que algo cuente (para la comunidad de matemáticos) como válido, es condición fáctica que sea legitimado, es decir, que alguien lo juzgue (o lo comprenda como) válido.

Pensemos en lo siguiente: los resultados en el cálculo del software que, supongamos, opera meramente con la sintaxis y la simbolización de las representaciones (o sea, no tiene significados genuinos ni contenidos iconográficos, como era el ideal del lenguaje de la empresa logicista), podríamos pensar que necesariamente son válidos. Sin embargo, el cálculo efectuado por un software es un mero despliegue mecánico. Para que valgan como representación de un objeto matemático debe existir un interpretante, alguien que los dé por tales (el programador, el usuario, etc.). De este modo, tiene que haber una interpretación legitimadora de tales funciones.

Ahora bien, quien habilita (y resiste) significados (que hacen comprensible las representaciones) es lo que llamaré comunidad de matemáticos. Ésta se caracteriza por ser esencialmente conflictiva. Esta conflictividad se denota, e.g., en que para la creación de nuevas representaciones pertinentes a la resolución de ciertos problemas específicos, quien los crea debe primero comprender tales representaciones y tenerlas por válidas al mismo tiempo que persuadir a sus colegas de que tales representaciones son atinentes para la resolución de los problemas en cuestión.

Una comunidad puede ser interpretada como un complejo de intereses. Un interés es aquello que pre-ocupa a un participante de esa comunidad. La preocupación es condición de toda comprensión en sentido genuino. Si no podemos preocuparnos por la resolución de un problema, jamás comprenderemos si una representación satisface tal resolución. Al mismo tiempo, uso la expresión pre-ocupación para dar cuenta de que es lo previo a una ocupación. Para comprender, necesitamos ocuparnos de aquello que nos preocupa. En las Reglas… Descartes dice esto del siguiente modo:

 

Nunca seremos matemáticos, aunque sepamos de memoria las demostraciones inventadas por los demás, si nuestro espíritu no es capaz de resolver por sí mismo toda clase de problemas [3].

 

En este contexto, ocuparse de un problema es por ejemplo (y paradigmáticamente) dedicarse a resolverlo. Esta ocupación implica el trato con distintas representaciones que son las herramientas con que resolvemos problemas. Un correcto trato implica una cierta competencia. En un sentido básico, a uno le debe ser enseñado el uso de tal o cual representación para poder usarla. Ahora bien, en el proceso de aprendizaje uno atiende al uso de las representaciones. La atención es poner en primer plano una parte de lo que estamos comprendiendo. Haciendo una analogía, al escuchar una obra musical, por lo general atendemos a la melodía, la comprendemos de forma explícita, aunque esa atención está en primer plano siempre respecto a una comprensión implícita de la armonía en la que se ve inscripta. Sin embargo, ‘superado’ el proceso de aprendizaje, uno debe hacer del uso de las representaciones no una comprensión explícita, sino implícita. El uso de las representaciones debe sernos un hábito (una sensibilidad, una competencia, etc.). Ahora, la legitimación de todo hábito está dado por la comunidad. Que un hábito sea legítimo quiere decir que sirve para ocuparse en la satisfacción de cierta preocupación de la comunidad.

Voy a hacer una analogía con la práctica de un guitarrista. Éste para ejecutar una obra debe preocuparse, tener el interés de tocar esa obra; y ocuparse de la obra tratando de tocarla. Al principio, tendrá un acceso explícito en el trato con la guitarra, en el sentido en que explícitamente pondrá el dedo sobre la cuerda y el traste correspondiente. No obstante, para que la obra, digamos, ‘suene legítimamente’, el guitarrista a ese acceso explícito lo debe volver implícito, es decir, un hábito o competencia. Si tiene conciencia exacta de los movimientos que debería hacer con los dedos, lo más probable es que la ejecución sea un fracaso. En último término, que ‘suene legítimamente’ la obra significa que el guitarrista lo toque de tal suerte que la haga comprensible, tanto para él, como para cualquier participante de la comunidad; el cual debe contar a su vez con cierta competencia, saber reconocer auditivamente ritmos, tonalidades, escalas, etc.; competencia que se adquiere con el previo trato auditivo con la música, los estilos, etc.

 

Quedamos entonces con que parte de la comprensión de una representación está dada por la competencia en su uso, y esto implica, reconocer cómo puede ser usado. Hay que agregar también que una mayor comprensión incluye a su vez cuándo (y porqué) su uso es mejor que el de otras representaciones. En este sentido, existen distintas formas de resolver un problema. Para volver con el caso del guitarrista, éste a la hora de componer, para la construcción de los acordes debe tener en cuenta, no sólo las posibilidades físicas que tiene su mano a la hora de posicionarse sobre el mástil y la secuencia de armonías que pretende, sino cómo los dibujos formados por las distintas voces (cuyas posibilidades son de gran amplitud) deben darle tal o cual sonoridad al acorde, según los intereses del compositor regido por ‘principios o reglas de composición’ (compartidos por la comunidad de músicos y adquiridos por el trato con esos principios o reglas) que posibilitan ciertos dibujos, melodías, armonías o movimientos de acordes, y resiste otros. En el caso del matemático, éste, por lo general, se ocupa en desarrollar varias formas de resolver el mismo problema; primero, para buscar la solución más elegante que tenga un mayor poder de persuasión gracias a que su comprensión sea más intuitiva; pero además, para obtener una mayor comprensión del problema, puesto que cada representación expresa aspectos distintos del mismo, y esto permitiría una mayor posibilidad a la hora de crear nuevas representaciones.

De este modo, lo que mostramos, e.g., es que, como en las artes, y a diferencia de un software, se necesitan “ciertas prácticas y disposiciones”, que es el trato, la competencia y la comprensión de las representaciones de los que nos ocupamos; y sin embargo, no hace falta conceder a Descartes que tales disposiciones y prácticas obstaculicen la comprensión de otros conocimientos. Más bien, por el contrario, gracias a la multiplicidad de prácticas y disposiciones que uno adquiere y toma respecto a una pluralidad de representaciones, hace que se enriquezcan y se comprendan un mayor número de facetas, ciertas ventajas y vicios que tienen tal o cual representación en particular, que tomadas aisladamente, nunca vislumbraríamos.

[1] Descartes; R.; Reglas para la dirección del espíritu; Regla 1, pág 62, Alianza, Madrid, 1984

[2] Cf. Grosholz, E.; Representation and productive ambiguity in mathematics and the sciences; ; Oxford University Press Inc., New York; 2007.

Breger, H.; “The art of mathematical rationality”; En Leibniz: what kind of rationalist?; Tel Aviv University, Tel Aviv, Israel, 2008.

Campos, D. “Imagination, concentration, and generalization: Peirce on the reasoning abilities of the mathematician”; En Transactions, volume 45, number 2

[3] Descartes; R.; Reglas para la dirección del espíritu, Regla 3, pág 73.