El arte de hacer matemáticas II

 Expresividad y no correspondencia.

Ahora intentaré dar cuenta de la faceta creativa del matemático a partir del análisis de un argumento leibniziano frente al nominalismo. En el Diálogo sobre la conexión entre las cosas y las palabras [1] Leibniz trata de dar cuenta del problema del nominalismo hobbesiano, según el cual, como la verdad del pensamiento es relativa a las representaciones que usa, y como las representaciones son relativas al arbitrio de quien las creó, se concluye que la verdad del pensamiento es relativa al arbitrio humano (es decir, los objetos y verdades matemáticas son creaciones del hombre). El cartesianismo superaría tal problemática con la intuición de verdades cuya evidencia nos impide dudar de ella. Tal tesis, empero, da al hombre, según Leibniz, una capacidad cuasi-divina. Muy por el contrario, el innatismo de las ideas en Leibniz no es en términos de unas proposiciones o verdades como objetos de consciencia privada y auto-evidentes, sino que entiende a las ideas como capacidades (o competencia) de expresión [2]. Así, las representaciones no valen por su correspondencia con los objetos sino por su capacidad de expresar el objeto que representan. Al conjugar distintas representaciones conformando un cálculo es que quedan expresadas ciertas reglas y fórmulas que los ordenan uno con otros (tanto a las representaciones como presumiblemente a los objetos).

Ahora, para comprender y expresar lo específico de un entramado de representaciones (en contraposición a su “contenido conceptual u objetivo”, podríamos decir), debemos ponerlos en relación de sustitución con otro entramado de representaciones. E.g., la regla del nueve que se da en el sistema decimal, no es el caso en el sistema duodecimal, por lo que queda evidenciado que tal regla es relativa o específica sólo del primero de ambos sistemas. Ahora, la relación entre un entramado de representaciones y su contenido conceptual-objetivo es, según Leibniz, de analogía y no de identidad (de lo contrario, caeríamos de nuevo en el nominalismo hobbesiano, en el sentido de que crear las representaciones implica crear su verdad), por lo que nunca puede llevarnos a la certeza cartesiana, sino que, aprovechando la capacidad de expresión de cada entramado de representaciones, y haciéndolos convivir en el trato con todos ellos, uno va ampliando el contenido conceptual. Cabe aclarar, por último, que la capacidad expresiva de una representación es relativa a la competencia en el uso que tiene el interpretante de esa representación. Dicho de otro modo, lo que ‘expresa’ una representación es todos los modos en que un matemático competente puede usarlo a la hora de ocuparse en la resolución de diferentes problemas. Y aunque esos ‘modos’ de uso pueden ser en extremo variados, su univocidad se obtiene en el contexto de uso para la resolución de un problema específico.

En este contexto podemos aclarar ahora mejor qué significa (según algunas corrientes actuales) que el hacer matemático, como en Leibniz, es esencialmente análisis de problemas, i.e., representar las condiciones de comprensibilidad para la resolución de los problemas. En el sistema axiomático, la geometría del software que supusimos, esto es irrelevante, pues las condiciones de comprensibilidad de todo problema posible están dadas previamente en los axiomas y reglas de inferencia ya programados. La pregunta sin embargo salta a la vista: ¿qué justifica esos axiomas? Si no tenemos algo así como las intuiciones cartesianas, parece ilícito apelar a algo así como que son auto-evidentes. En el contexto de resolución de problemas, los axiomas son entendidos como hipótesis de trabajo creadas como condiciones de comprensibilidad del problema, y se justifica en primer lugar porque sirven para resolverlo. Ahora, como dijimos, hay múltiples condiciones de comprensibilidad a partir de las cuales representar la resolución del mismo problema, y mediante la comparación y superposición podemos comprender las virtudes y defectos de tales representaciones (apelando, e.g., a criterios como de simplicidad, importancia, etc.); pero, al mismo tiempo, la creación de cierta condición de comprensibilidad puede servir para la resolución de una multitud de problemas que antes pudieran creerse distanciados o inconmensurables entre sí. De este modo, reinterpretando el criterio de perfección leibniziano, podemos pensar que la virtud de tales o cuales representaciones y condiciones de comprensibilidad está en su capacidad de resolver el mayor número de problemas con el mínimo de esfuerzo para su comprensión.

Aquí la palabra esfuerzo merece ciertas aclaraciones. Un software no se esfuerza en resolver problemas, sino que quien lo hace es un participante de la comunidad de matemáticos a la hora de comprender, expresar o lograr la resolución de un problema. Si para la comprensión de un problema se necesita excesivo esfuerzo, lo más probable es que la comunidad de matemáticos se resista a darlo por válido. Aquí queda claro porqué hablamos de la prueba como con una doble finalidad, no sólo validar la respuesta a un problema, sino también comunicarlo.

 

[1] Cf. Leibniz, G. “Diálogo sobre la conexión entre las cosas y las palabras”; En G. W. Leibniz. Escritos filosóficos; Charcas, Madrid, 1982.

[2] Cf. Leibniz, G. “¿Qué es idea?”; En G. W. Leibniz. Escritos filosóficos.