El arte de hacer matemáticas III

 De la creatividad.

Para ir terminando, traeré a colación un pequeño comentario de la interpretación que Daniel Campos tiene de la concepción peirceana de la imaginación que me permitan dar cuenta de la creatividad del matemático [1]. Campos define a la imaginación como competencia para expresar y comprender configuraciones complejas. Así, la función de la imaginación creativa en matemáticas parecería ser el de construir representaciones originales capaces de hacer comprensible (i.e., expresar) aspectos del objeto (complejo) que se trata. Estos aspectos que expresa tales representaciones, que el usuario competente es capaz de comprender intuitivamente, se supone que quedarían vedados si se trata de expresarlo con otros tipos de representaciones. Ahora, tanto la creatividad a la hora de construir representaciones como la competencia a la hora de usarlos parecen depender, para Campos, de la misma facultad: la imaginación.

Desde mi lectura, análogamente, la competencia y creatividad para resolver un problema es directamente proporcional a la comprensión que tengamos del problema. Así las cosas, la ocupación de un matemático comienza con una creación imaginativa, comprensiva y competente de condiciones de comprensibildiad de un problema (o en el vocabulario de Peirce, una hipótesis de enmarcación). Aunque estas condiciones son creadas, no son meros constructos arbitrarios de nuestra imaginación, sino que deben ser capaces de dar cuenta del problema al que el matemático se enfrenta, a la vez que debe ser capaz de persuadir a la comunidad de matemáticos, conformados por matemáticos preocupados por resolver (y por tanto, comprender) todos los problemas matemáticos. Así, aunque tiene cierto convencionalismo las resoluciones de problemas -pues debe poder ser comprendido por una comunidad-, no obstante, no podemos caer en un nominalismo hobbesiano, en tanto que no todo problema vale como tal, ni toda condición de comprensibilidad puede dar cuenta del problema que pretende expresar.

Así, como en el caso del artista, el matemático no sólo debe tener ciertos hábitos, prácticas y disposiciones respectos a las herramientas que usa en su trabajo (que son los distintos tipos de representaciones), sino que además debe contar con una capacidad creativa a la hora de representar (en su análisis) las condiciones de comprensibilidad de un problema. E.g., el contenido iconográfico de un diagrama debe ser capaz de hacer comprensible sin esfuerzo (a cualquier sujeto con competencia en el uso del diagrama) las relaciones conceptuales que busca expresar. De este modo, al querer representar un contenido conceptual para la resolución de tal problema, el matemático puede crear una gran cantidad de diagramas y experimentar con ellos, comprendiendo de este modo, con prácticas de prueba y error, sus capacidades expresivas, atendiendo en qué contextos y de qué manera es interesante utilizarlo; análogo al pintor que experimenta distintas formas, colores, pinceles y técnicas para encontrar el mejor modo de mostrar lo que pretende con su cuadro. No obstante, así como no tiene sentido que el pintor explique su cuadro (lo cual sería traducirlo en discurso hablado), del mismo modo, sería una gran pérdida expresiva reducir el diagrama a lenguaje lógico, como es le ideal logicista, haciendo que se pierda, e.g. la armonización de dos o más problemas a una sola representación, lo cual, contraría el criterio de perfección leibniziano antes citado [2].

Últimas consideraciones.

Ya hemos visto en qué sentido el matemático, lo mismo que el artista, debe adquirir ciertas prácticas y disposiciones que le permitan cierta comprensión de las herramientas con que trabaja (los distintos tipos de representaciones) a la vez que desarrollar cierta capacidad creativa para mejorar la expresividad (y con ella, ipso facto, la comprensibilidad) de estas representaciones. También vimos que tales analogías con el artista no nos llevan a creer que aprender cierta ciencia obstaculiza el aprendizaje de otras, sino que, por el contrario, el aprendizaje en el uso de una multitud de modos de representación permite una comprensión más compleja de todas ellas. A la vez, nos salva de caer en un nominalismo hobbesiano, en tanto que no toda representación vale para comprender o expresar un objeto matemático. Así, para terminar este análisis, quisiera contraponer la metáfora cartesiana de la razón como luz solar a la metáfora leibnizana del conocimiento como océano. En el primer caso, pareciera que tuviésemos ya todas las herramientas dadas (la luz solar) para que cualquiera sea el objeto que se nos aparezca, podemos hacerlo brillar en todo su esplendor; mientras el segundo, más humilde y menos dogmático, nos hace entender que ya estamos jugados en medio de la marea, y que debemos construir con lo que tenemos a mano las mejores herramientas para adentrarnos en sus siempre peligrosas fauces, creando incluso arbitrarias distinciones como las que hacemos de océanos y mares, y aunque las sabemos ficciones imaginarias y provisorias, nos ayudan a comprender de mejor modo por dónde estamos navegando.

 

[1] Cf: Campos, D. “Imagination, concentration, and generalization: Peirce on the reasoning abilities of the mathematician”

[2] Podría poner como ejemplo el caso de armonización entre la isocrónica y la tractriz en: Grosholm, E.; “The isochrone and the tractrix”, Representation and productive ambuiguity in methematics and the Sciences.